期权简介

📊看涨期权（按照一定价格买入的权利）和看跌期权（卖出的权利）。美式期权在到期日之前可以被选择执行，欧式期权只能在到期日执行。

头寸：期权也分多头空头。多头为买入期权方，空头为卖出期权（也叫做承约方）。

如果K是执行价格，St为最终价格。

看涨多头收益为max(St-K,0)，看跌多头收益为$max(K-S_T,0)$。也即K>St是才会行权（按照K卖出股票）,否则可以直接按照市场价卖出。

期权标的资产有：

• 股票期权
• 货币期权
• 指数期权
• 期货期权

期权被分为

• 实值期权：可以行使获内涵价值。
• 平值期权
• 虚职期权

对于美式期权来讲，期权还有时间价值，也就是说可以不在有内涵价值时立即行权而是等待。期权整体价值=内涵价值+时间价值。

期权价格影响因素

接下来讨论期权价格的影响因素。

股票价格和执行价格

对于看涨，收益等于股票价格-执行价格。故股票价格上升， 价值增加，执行价格上升，价值减小。

对于看跌，收益等于执行价格-股票价格。股票价格上升，价值减小，执行价格上升，价值增大。

期权期限

对于美式期权，在较短期限的期权行使时，较长期限期权也能被行使，故长期限期权价格较高。

一般来说，欧式也是长期价格较高。但也有可能因为股息之类的因素导致短期价格较高。

波动率

波动率越高，股票价格变动越大。

对于期权持有者来讲，波动率越大，其获利机会越大，但是损失是有上限的（最多损失期权费用）故随着波动率上升，期权价格上涨。

无风险利率r

当r上升，看涨期权价值增加，看跌期权价值降低。

（股票价格不变时）因为当r上升时，看涨收益=股票价格-执行价格，r上升导致执行时花的钱现值减少，故收益增加，价值增加。

看跌收益=执行-股票。这里按照执行价格卖出资产，因为r上升，现值减少，故价值降低。

期权价格的上下限

上限

对于看涨期权，期权的价格不会超出股票的价格，证明：因为如果期权价格大于股票价格，可以进入看涨期权空头，并用卖出期权的钱来买股票（用于承约），然后差价就是纯赚。$c\le S_0$

对于看跌期权，持有者可以按照价格K卖出股票，故期权价值不会高出执行价格：$P \le K$ , 假如期权价格高于执行价格，那么可以卖出看跌期权获取P,此时承约内容（看跌空头）是按照K元买入股票，因为P大于K,故怎么都是赚的。如果是欧式期权，那么$p\le e^{-rT}K$，也就是说卖出期权的价格肯定小于执行价格的贴现。

无股息看涨期权下限

🥎欧式看涨期权的下限是$$S_0-Ke^{-rT}$$

理解：对于承约方，先通过$S_0$购买股票用于承约，之后卖出K元，净现值为$Ke^{-rT}-S_0$，那么对于购买者，拿到这份期权就是反着的价值。可以得到价值为$S_0$的股票，执行花费现值是$Ke^{-rT}$,故下限是$S_0-Ke^{-rT}$。

如果期权价格低于了这个下限，根据低买高卖，套利者可以买入看涨期权，并且卖空股票用钱来无风险投资，之后通过执行期权来平仓股票。

无股息看跌期权下限

$$Ke^{-rT} - S_0$$

💬理解：期权持有者卖出成本为S0的股票，获取现值为$Ke^{-rT}$的钱。

如果价格小于该值，假设为$$Ke^{-rT} - S_0 >x$$,那么套利者可以借入$S_0+x$元,花x购买该期权，并且购买股票，然后按照,最后按照K的价格卖出股票，并且归还银行$(x+S_0)*e^{rT}<K$，来进行套利。如果股票价格大于K,那么能套利更多。

平价关系式

📕对于同样执行价格的期权，有如下关系式

假设具有以下两种资产组合

• A:看涨期权和到T收益为K的零息债券（准备用于执行）
• B:看跌期权和一个股票（准备用于卖出）

若$S_T>K$，对于A，那么看涨期权会被行使，期权收益为$S_T-K$，加上债券收益，总价值为St(相当于用债券加上期权换取股票)，而B期权不会被行使，会直接卖出，总价值也是St。

若$S_T<K$,A的看涨期权不会被行使，总价值为K,B的看跌期权被行使，价值也是K。

综上，两种组合的价值是$max(S_T,K)$

因为两种组合价值相同，在无套利时，两种组合的现值相等。

$$c+Ke^{-rT}=p+S_0$$

这就是put-call parity

为什么美式看涨不会提前行使？

假如股票在行权后还要持有一段时间（比如一个月），因为执行花费可以无风险投资，并且规避了一个月后股票价格低于K的风险。

而如果确实想在这个时候获利，可以卖掉期权，而不是行使期权。证明：因为$C\ge c\ge S_0-K*e^{-rT}> S_0-K$,故$C>S-K$,期权价格一定大于其内涵价值。这是因为时间价值导致的。

美式看跌期权

当判断实值够大时，可以提前行使就应该提前行使期权，来立即获得收益。